Chung

Giả thuyết Riemann: Một bài toán trị giá 160 năm tuổi

Giả thuyết Riemann: Một bài toán trị giá 160 năm tuổi


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Giả thuyết Riemann là một trong những tiến bộ toán học quan trọng nhất trong lịch sử. Được phát triển bởi Georg Friedrich Bernhard Riemann trong1859 nó vẫn chưa có đối thủ về tác động của nó, hoặc được giải quyết, hầu như 160 năm.

Đó là, cho đến bây giờ - nếu một tuyên bố hiện tại về bằng chứng của nó là đúng.

Nhưng nó là gì? Tại sao nó lại quan trọng? Chúng ta hãy cùng tìm hiểu sơ lược về định lý số nguyên tố hiện đại này.

Giả thuyết Riemann là gì?

Giả thuyết Riemann là một phần đột phá của phỏng đoán toán học được xuất bản trên một bài báo nổi tiếngUeber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (“Trên các số nguyên tố nhỏ hơn một độ lớn nhất định") trong 1859 của Bernhard Riemann.

Nó xoay quanh một trong những hiện tượng hấp dẫn nhất của toán học - số nguyên tố. Các nhà toán học đã tìm kiếm dự đoán chúng ngay từ những ngày đầu thành lập ngành này.

Những 'gã khổng lồ' trong toán học như Euclid, công thức tích của Euler (nối các số nguyên tố với hàm zeta), Gauss (Riemann là học sinh của Gauss) và Legendre (công thức của định lý số nguyên tố) cho Hadamard và de la Vallée Poussin đều đã thành công lớn. đóng góp cho lĩnh vực này qua nhiều thế kỷ.

Các số nguyên tố có xu hướng không tuân theo bất kỳ mô hình rõ ràng nào. Bằng cách tìm một con số, bạn không thể dự đoán con số tiếp theo nếu không nghiên cứu các con số khác khi bạn tiến lên - không phải là một quá trình hiệu quả.

Một số người đã mặc định rằng thay vì nhìn về phía trước, thay vào đó, việc nhìn lại phía sau có thể hữu ích. Có thể hiểu được khoảng cách của các số nguyên tố bằng cách xem có bao nhiêu số nhỏ hơn số hiện tại không?

Đây chính xác là những gì Riemann đã cố gắng đạt được. Sự hiểu biết sâu sắc này sẽ giúp Riemann thực hiện một trong những bước tiến lớn nhất trong hiểu biết của chúng ta về lý thuyết số nguyên tố kể từ thời cổ đại. Không chỉ vậy mà gần như 160 năm đó là một kỳ tích chưa được sánh kịp hoặc vượt quá.

Giả thuyết Riemann xoay quanh phương trình hàm zeta

Như Viện Toán học Clay giải thích:

“[Riemann] đã quan sát thấy rằng tần suất của các số nguyên tố có liên quan rất chặt chẽ đến hoạt động của một hàm phức tạp: -

ζ (s) = 1 + 1/2S + 1/3S + 1/4S + ...

[Cái này] được gọi làHàm Riemann Zeta. Giả thuyết Riemann khẳng định rằng tất cảhấp dẫn nghiệm của phương trình: -

ζ (s) = 0

nằm trên một đường thẳng thẳng đứng nhất định ”.

Trong các thuật ngữ quá đơn giản, nó liên quan đến sự phân bố của các số nguyên tố, nhưng điều đó không thực sự bắt đầu giải thích nó. Một lời giải thích sâu hơn (cần thiết) về vấn đề này nằm ngoài phạm vi của bài viết này nhưng Jørgen Veisdal (một tiến sĩ tại Đại học Khoa học và Công nghệ Na Uy) đã đưa ra một cái nhìn tổng quan đầy đủ thông tin.

Công việc của ông hiện trở thành trọng tâm chính của lý thuyết số nguyên tố và là lý do chính để chứng minh định lý số nguyên tố trong 1896. Kể từ đó, một số bằng chứng mới đã được tìm thấy, bao gồm các chứng minh sơ cấp của Selberg và Erdós. Tuy nhiên, giả thuyết của Riemann về gốc của hàm zeta vẫn còn là một bí ẩn.

Mặc dù rất phức tạp về bản chất, những gì nó đang cố gắng giải quyết khá đơn giản. Thay vì cố gắng xác định đâu là số nguyên tố, Riemann đã cố gắng điều tra bản chất của chúng.

Ông không phải là người đầu tiên thực hiện cách tiếp cận này, trên thực tế, đó là 'mốt' của các đồng nghiệp của ông trong những năm 1800 nhưng ông muốn trở thành một bậc thầy của nó.

Tại sao Giả thuyết Riemann lại quan trọng?

Tóm lại, nó giống như một 'chén thánh' của toán học. Marcus du Sautoy của Đại học Oxford cho biết: “Hầu hết các nhà toán học sẽ đánh đổi linh hồn của họ với Mephistopheles để lấy một bằng chứng.

Cho đến nay, các nhà toán học có một ý tưởng khá hay, phép tính gần đúng, cho mật độ của các số nguyên tố nhưng không chắc chắn tuyệt đối. Các phép tính gần đúng này chỉ là vậy và không có hàm nào (chưa được biết đến) tồn tại cho phép chúng tính toán hiệu quả và hoàn hảo số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn một số nguyên nhất định (có xu hướng là các số có hàng triệu số không).

Cho rằng các nhà toán học không thể xác định các giá trị chính xác, họ muốn biết các phép gần đúng của họ tốt như thế nào. Đây là vấn đề mà Reimann đang cố gắng giải quyết với1859 giấy.

Nếu giả thuyết của anh ta là đúng, nó sẽ đảm bảo một ràng buộc lớn hơn nhiều về sự khác biệt giữa giá trị gần đúng hiện có và giá trị 'thực'. Nói cách khác, nó sẽ cho chúng ta biết liệu các số nguyên tố có hỗn loạn như ngày nay hay không.

Mặc dù giả thuyết của ông giải quyết được hàng trăm khái niệm khác, nhưng cốt lõi của nó là liên quan đến sự phân bố các số nguyên tố.

Đối với một số người, điều này có vẻ như là một "ồn ào chẳng ra gì" nhưng khi bạn nhận ra rằng nhiều tổ chức lớn, như NSA, tuyển dụng nhiều nhà lý thuyết số để thực hiện nghiên cứu trong lĩnh vực này, thì điều chắc chắn là quan trọng về nó.

Định lý số nguyên tố từng là lý thuyết thuần túy nhưng đã bắt đầu tìm thấy các ứng dụng thực tế trong thế giới kỹ thuật số hiện đại của chúng ta. điện thoại di động, chẳng hạn, sẽ không thể hoạt động nếu không có truyền thông trải phổ và "chuỗi dư bậc hai".

Cả hai đều dựa nhiều vào một số thuộc tính của số nguyên tố để cho phép nhiều tín hiệu hoạt động trên cùng một dải tần.

Nhưng quan trọng hơn, phân thừa số nguyên tố là một phương pháp thường được sử dụng trong các kỹ thuật mã hóa như hệ thống mã hóa khóa công khai. Chúng có xu hướng sử dụng các số bán nguyên tố lớn (nhân hai số nguyên tố) để bảo mật mã hóa.

Để phá vỡ nó, bạn sẽ phải tìm thừa số nguyên tố của số bán nguyên tố lớn - nghĩa là hai hoặc nhiều số nguyên tố nhân với nhau sẽ tạo ra số ban đầu.

Khi kỹ thuật này sử dụng các số nguyên tố nhỏ thì việc bẻ khóa tương đối đơn giản nhưng sử dụng các số nguyên tố lớn hơn thì máy tính có thể mất vài ngày, vài tháng thậm chí hàng năm để giải. Với sự phân bố phi tuyến tính của các số nguyên tố, quá trình này là một quá trình thử và sai - bạn sẽ cần thử tất cả các kết hợp có thể có.

Nói tóm lại, giải quyết nó, trong số những thứ khác, sẽ có những tác động to lớn đối với an ninh mạng.

Giả thuyết Riemann là một trong những Bài toán Thiên niên kỷ

Có một số vấn đề vẫn còn tồn tại dai dẳng ngoài khả năng của bộ óc vĩ đại nhất của chúng ta. Một số trong số này, ít nhất là trong lĩnh vực toán học, được gọi là Bài toán về Giải thưởng Thiên niên kỷ.

Chúng bao gồm bảy (bây giờ là sáu) hoặc hơn vấn đề toán học đã được Viện Toán học Clay xác định vào đầu thiên niên kỷ mới.

Cho đến nay, chúng bao gồm những thứ sau: -

1. Yang-Mills và Khoảng cách khối lượng - Theo các nghiệm lượng tử của phương trình Yang-Mills, dường như có một "khoảng cách khối lượng".

2. Giả thuyết Riemann

3. Bài toán P so với NP - Điều này được điển hình bởi Bài toán Đường đi Hamilton. "Với N thành phố để tham quan, làm thế nào một người có thể làm điều này mà không đến thăm một thành phố hai lần? Nếu bạn cho tôi một giải pháp, tôi có thể dễ dàng kiểm tra xem nó có đúng không. Nhưng tôi không thể dễ dàng tìm ra giải pháp."

4. Phương trình Navier – Stokes - Phương trình điều chỉnh dòng chảy của chất lỏng. "Tuy nhiên, không có bằng chứng cho những câu hỏi cơ bản nhất mà người ta có thể đặt ra: các giải pháp có tồn tại không, và chúng có duy nhất không?" Người ta đã tuyên bố, mặc dù không được chính thức công nhận bởi Viện Toán học Clay, rằng điều này đã được giải quyết bởi Mukhtarbay Otelbayev.

5. Phỏng đoán Hodge- "Câu trả lời cho phỏng đoán này xác định bao nhiêu cấu trúc liên kết của tập nghiệm của một hệ phương trình đại số có thể được xác định dưới dạng các phương trình đại số khác." Bài toán này đặt ra câu hỏi liệu các hình phức tạp có thể được xây dựng từ những hình đơn giản hay không.

6. Phỏng đoán Poincaré- Nhà toán học Pháp Henri Poincare hỏi, trong 1904, nếu hình cầu ba chiều được đặc trưng là "ba đa tạp được kết nối đơn giản duy nhất." Đó là một trường hợp đặc biệt của phỏng đoán hình học của Thurston.

7. Phỏng đoán Birch và Swinnerton-Dyer - "Được hỗ trợ bởi nhiều bằng chứng thực nghiệm, phỏng đoán này liên hệ số điểm trên đường cong elliptic mod p với thứ hạng của nhóm điểm hữu tỉ". Đây cũng là một trong những vấn đề toán học khó khăn nhất vẫn phải giải quyết.

Có bao nhiêu vấn đề thiên niên kỷ đã được giải quyết?

Những vấn đề này đều mang lại một sự nhức nhối 1 triệu đô la giải thưởng bằng tiền mặt nhưng giải thưởng thực sự là sự nổi tiếng lâu dài và sự tôn trọng từ các đồng nghiệp đến cùng khi giải quyết chúng.

Cho đến nay, chỉ có một trong bảy nguyên bản đã được giải quyết. Chính thức chỉPhỏng đoán Poincaré đã được giải quyết. Điều này đã được giải quyết bởi nhà toán học người Nga Grigori Perelman trong 2003.

Perelman đã xây dựng sự nghiệp từ việc giải quyết các vấn đề toán học và đã có những đóng góp đáng kể cho hình học Riemannian và tôpô hình học. Trong 2006 ông đã được vinh danh trên ấn bản Nature ngày 22 tháng 12 vì giải pháp của ông cho phỏng đoán của Poincare đánh dấu nó là "Bước đột phá của năm".

Khi nó được chính thức công bố, ông đã đáp ứng các tiêu chí cho Giải thưởng Thiên niên kỷ Đất sét trong 2010 ông từ chối số tiền thưởng nói rằng những đóng góp của ông không lớn hơn những đóng góp của Richard S. Hamilton.

Nhưng giả thuyết Riemann có thể là giả thuyết tiếp theo bị thất bại nếu tin tức gần đây trở thành chính xác. Có vẻ như một 90 tuổi nhà toán học đã nghỉ hưu có thể có một giải pháp khiến các đồng nghiệp của ông ấy phải chịu 160 năm.

Tất nhiên, tuyên bố của ông sẽ cần được Viện Toán học Clay xác minh trước, nhưng điều đó có nghĩa là giả thuyết Riemann cuối cùng đã được giải.

Nhưng ông không phải là người đầu tiên tuyên bố đã giải được giả thuyết Reimann. Trong 2004, Louis de Branges, một nhà toán học người Pháp, hiện đang làm việc tại Đại học Purdue ở Mỹ, đã tuyên bố một bằng chứng về giả thuyết Riemann.

Tuy nhiên, giải pháp của Branges sau đó đã bị các đồng nghiệp của ông bác bỏ.


Xem video: Intro Riemann hypothesis (Có Thể 2022).